1.电机伺服系统双神经网络摩擦补偿和有限时间协同控制方法，包括以下步骤：步骤1，建立如式(1)所示的电机伺服系统模型，初始化系统状态以及相关控制参数；

其中m为有效质量；x为状态变量，表示电机转子的位置；u(t)是控制信号，表示随时间变化的电压；Kf是阻尼系数，为常值参数；F为未知非线性摩擦力；

步骤2，建立非线性摩擦力的LuGre模型，并将摩擦模型划分为静态部分和动态部分；

2.1，将摩擦力用LuGre模型表达为：

其中，σ0为刚性系数；σ1为阻尼系数；σ2为粘滞摩擦系数，z为接触表面造成的鬃毛形变量；

2.2，将式(2)中的z做以下分析：

当 趋向于0时，从式(3)可知，z趋向于一个终值zs：

其中， Fc和Fs都是未知的参数，Fc是静摩擦参数，Fs是Stribeck摩擦参数；

2.3，为便于控制器设计，令ε＝z-zs，根据式(3)和式(4)，则式(2)可以转变为：

设

则式(5)可写为：

其中F1是由于速度造成的摩擦的静态部分；是系统趋于期望状态时速度的终值；F2是由所设变量ε计算的摩擦的动态部分；

步骤3，利用双神经网络分别估计摩擦力的静态和动态部分，并设计权重更新律；

3.1，因为F1和F2是未知的，所以分别用以下两个神经网络进行逼近

其中W1、W2是神经网络权重矩阵； 是神经网络的径向基函数，可以被取值为常用的高斯函数 满足 ci为径向基函数的中心，i＝1,2,…,n，n为神经元个数；神经网络的估计误差ξf1和ξf2分别满足不等式|ξf1|≤ξM1和ξf2≤ξM2；

3.2，神经网络权重 更新律按照下面的公式给出：

其中 是满足不等式 的光滑投影算法，为参数k的估计值；I1，I2是正对角矩阵；

步骤4，根据系统方程式(1)，设计有限时间协同控制器u(t)；

4.1，为将系统状态x趋向指定的期望稳定状态xd，定义跟踪误差和它的微分式分别为e＝x-xd和 定义一个协同变量γ,建立系统协同多项式为:M＝{δ:γ＝s(δ)＝0,s(δ)∈Rm×1}   (13)其中 γ＝[γ1,γ2,…,γm]T；

由上式(13)可以得到

其中sδ是s对于δ的一阶偏导，

4.2，系统协同变量γ在所设计的控制器u(t)作用下，在有限时间内趋近于指定的多项式M，并且控制器u(t)的约束条件为:

其中 并且τ是一个非奇异正定对角矩阵；pi和ri是满足条件1＜pi/ri＜2,i＝1,2,…,m的正奇数；根据这个约束公式，变量γ和它的 会在有限时间内趋向于0；

4.3，从式(1)可以得出电机伺服系统的跟踪误差模型为:

因为 所以式(16)可以变为：

把式(14)和式(15)代入式(17)，可以得出控制器u(t)的表达式为：

把式(9)和式(10)代入式(18),得到最终的控制器输入信号为：

其中 μ1和μ2是满足

的常数；WM1,WM2分别为W1,W2的最大值；

T

4.4，设计李雅普诺夫函数V＝0.5γγ，则可以证明式(1)中的所有信号均是一致有界的；同时，系统跟踪误差e可以在有限时间内收敛至平衡点e＝0。