1.一种多目标元胞差分方法，包括如下步骤：

步骤1、创建多目标函数，对于含约束的多目标问题，还需要创建约束条件；

步骤2、对种群进行随机初始化，即对每个个体的决策变量随机初始化；计算每个个体的目标函数值，再将种群中的个体随机分布到二维环形网格中，并将当前种群存入外部存档集；

步骤3、从每个当前个体的周围邻居中通过二元锦标赛选出两个较优秀的个体，将它们与当前个体共同作为父本，然后进行差分变异、交叉操作获得子代，并计算子代的目标函数值；

元胞自动机的邻居结构有很多，这里采用Moore型邻居结构；在Moore型中，一个元胞的上、下、左、右、左上、左下、右上、右下相邻的八个元胞为该元胞的邻居；

设种群规模为N，d为解空间的维数；xr1、xr2、xr3为三个父本向量；vi为变异向量，ui为子代向量；

(a)差分变异操作

vi.j＝xr1.j+F·(xr2.j-xr3.j)，i∈[1,N]，j∈[1,d]F为介于[0,1]间的缩放因子，vi.j为变异向量vi中的第j个元素，xr1.j为父本向量xr1中的第j个元素，其他类推。

(b)差分交叉操作

randi.j为[0,1]之间均匀分布的随机数，CR为介于[0,1]间的交叉常量，randj∈[1,

2,…,d]，ui.j为子代向量ui中的第j个元素。

步骤4、根据秩与拥挤距离，选出邻居中的最差者；整个进化过程根据替换策略的不同分为两个阶段；在第一阶段，采用替换策略Ⅰ进化；在第二阶段，采用替换策略Ⅱ进化；

替换策略Ⅰ:如果新产生的个体不被当前个体与邻居中的最差个体支配，则对当前个体及邻居中的最差者进行替换，并将新产生的个体加入外部存档集；

替换策略Ⅱ:一旦新产生的个体支配当前个体或邻居中的最差个体，则对当前个体或邻居中的最差者进行替换，并将当前个体加入外部存档集；

步骤5、重复3与4的步骤，直到完成最后一个个体的进化；

步骤6、在每代进化结束后，根据秩与拥挤距离对外部存档集的个体进行排序，秩低的排在前；秩相同的个体比较拥挤距离，拥挤距离大的排在前面，并剔除超过种群规模的个体；

步骤7、将整个外部存档集中的个体作为下一次进化的种群，并将其随机分布到二维网格中，继续进化直至满足进化的终止条件。

2.一种应用多目标元胞差分方法的减速机优化设计方法，包括如下步骤：步骤21.确定设计要求；

减速器的优化设计是一个经典的含约束的多目标优化问题；此问题的优化目标为减速器的体积最小(f1)，轴1的应力最小(f2)；减速器的输入功率为10kW，高速轴转速为800r/min，转速比为3；齿轮材料的弹性模量取200GPa，齿形系数为2.54，压力角为20度，齿轮的相对齿宽介于5～12之间；齿根的许用弯曲应力为22.5MPa，齿面的许用接触应力346.6MPa；齿轮之间的中心距不超过80cm；第一轴(1)和第二轴(2)的挠度变形不超过0.001，第一轴(1)的许用应力为1300MPa，第二轴(2)的许用应力为1100MPa；该问题的设计变量分别为齿宽x1、齿轮模数x2、小齿轮的齿数x3、第一轴承(11)之间的距离x4、第二轴承(22)之间的距离x5、第一轴(1)的直径x6、第二轴(2)的直径x7；

设计变量的范围为：

2.6≤x1≤3.6

0.7≤x2≤0.8

17≤x3≤28

7.3≤x4≤8.3

7.3≤x5≤8.3

2.9≤x6≤3.9

5≤x7≤5.5

步骤22、根据步骤1确定的设计要求，建立该问题的数学模型；

fvolume、f1(x)为减速箱的体积(由轴的体积和齿轮的体积共同构成)，fstress、f2(x)为轴1的应力。

s.t.

g8

＝1 .9-x4+1 .5x6 ≤ 0,g9＝1 .9-x5+1 .1x7 ≤ 0 ,g10＝f2( x) ≤ 1300 ,g1：齿轮的弯曲应力约束条件；g2：齿轮的接触应力约束条件；g3、g4：轴的挠度约束；g5～g7：齿轮的尺寸约束；g8、g9：轴的几何尺寸约束；g10、g11：轴的许用应力约束；

步骤23.实施NCellDE优化步骤；

1)创建多目标函数(式1)，创建约束条件(g1～g11)；

2)种群规模设为100，在每个变量范围内，对每个个体的设计变量随机初始化；这里，将约束条件的违反程度转化为一个目标函数值，即再增加一个目标；计算每个个体的目标函数值，再将种群中的个体随机分布到二维环形网格中，并将当前种群存入外部存档集；

3)从每个当前个体的周围邻居中通过二元锦标赛选出两个较优秀的个体，将它们与当前个体共同作为父本，然后进行差分变异、交叉操作获得子代，并计算子代的目标函数值；

(a)差分变异操作

vi.j＝xr1.j+0.6·(xr2.j-xr3.j)，i∈[1,100]，j∈[1,7]缩放因子F设为0.6；

(b)差分交叉操作

交叉常量CR设为0.5；

4)根据秩与拥挤距离，选出邻居中的最差者；整个进化过程根据替换策略的不同分为两个阶段；在第一阶段，采用替换策略Ⅰ进化2400代；在第二阶段，采用替换策略Ⅱ进化800代；

NCellDE中的替换策略如下：

替换策略Ⅰ:如果新产生的个体不被当前个体与邻居中的最差个体支配，则对当前个体及邻居中的最差者进行替换，并将新产生的个体加入外部存档集；

替换策略Ⅱ:一旦新产生的个体支配当前个体或邻居中的最差个体，则对当前个体或邻居中的最差者进行替换，并将当前个体加入外部存档集；

5)重复3与4的步骤，直到完成最后一个个体的进化；

6)在每代进化结束后，根据秩与拥挤距离对外部存档集的个体进行排序(秩低的排在前；秩相同的个体比较拥挤距离，拥挤距离大的排在前面)，并剔除超过种群规模的个体，将种群规模控制在100；

7)将整个外部存档集中的个体作为下一次进化的种群，并将其随机分布到二维网格中，继续进化直至进化到3200代；

在方法寻优时，将齿轮模数x2、小齿轮的齿数x3作为连续变量处理；考虑实际应用场景，还要从获得的解中选取齿数为整数、模数为标准模数的解；获得的设计变量的具体值见表

4；

表4设计参数及目标函数值(共有100组)

步骤24、根据求得优化解的结果，结合设计者的设计目标，选择相应优化解；

若设计者希望减速器的体积最小，对轴的应力并不是很关心，则可以选取序号为75的解；若设计者希望减速器的体积尽量小，同时又希望轴的应力也尽量小，则可以选取序号为

8的解。