1.一种水平规则双粗糙度表面重液滴轮廓和接触角的计算方法，包括以下步骤：(1)假设一个由液滴和微纳二级结构表面组成的模型，其中第一级纳米结构和第二级微米结构都是方柱，几何尺度周期性分布，二级结构和基底由不同的材料组成；模型的总表观面积为边长L0的正方形，边长远大于液滴直径；a1，b1，h1和x1分别是第一级结构方柱的边长、间距、高度和浸润深度，a2，b2，h2和x2分别是第二级结构方柱的边长、间距、高度和浸润深度，第一级结构的尺寸远小于第二级结构；由于水平规则的双粗糙度表面上的重液滴形状是轴对称的，所以在二维平面上考虑了这个问题；选择重液滴的对称轴为v轴，重液滴的表面接触面为u轴，并利用有限差分法将重液滴的轮廓曲线沿v方向分成N等份，得到离散点：其中，ha是液滴的最大高度,ui是离散点的横坐标，vi是离散点的纵坐标；

(2)四种不同润湿接触状态的系统无量纲自由能函数的推导，推导过程如下：

21.通过重液滴在一级结构和二级结构中的渗透深度,将润湿接触状态分为四种，分别为W-W,C-W,W-C和C-C状态，划分依据如下：(a)一级结构和二级结构均处于Wenzel状态，即x1＝h1，x2＝h2，这种接触状态命名为W-W状态；

(b)一级结构处于Cassie状态或者接触状态将从Cassie状态转变为Wenzel状态，二级结构处于Wenzel状态，即0≤x1

(c)一级结构处于Wenzel状态，二级结构处于Cassie状态或者接触状态将从Cassie状态转变为Wenzel状态，即x1＝h1，0≤x2

(d)一级结构和二级结构均处于Cassie状态或者接触状态将从Cassie状态转变为Wenzel状态，即0≤x1

其中，x1是液滴在一级结构中的渗透深度，x2是液滴在二级结构中的渗透深度，h1是一级结构的高度，h2是二级结构的高度；

22.四种不同润湿接触状态的系统自由能EI等于EI＝Ea+Eb，I＝1,2,3,4；下标I＝1,2,3,

4分别表示W-W,C-W,W-C和C-C状态；Ea和Eb分别代表重力势能和表面自由能；

Ea可以表示为：

Eb可以表示为：

Eb＝γLVSLV+γSL0SSL0+γSL1SSL1+γSL2SSL2+γSV0SSV0+γSV1SSV1+γSV2SSV2     (3)其中，ρ是液体密度，g是重力加速度，S是界面的接触面积，γ是界面张力系数，下标LV，SL和SV分别代表液-气，固-液和固-气界面，下标1，2和0分别代表一级结构，二级结构和基底；

液滴的外表面积Sext可以表示为：

式中，u是离散点的横坐标，v是离散点的纵坐标，ha是液滴的最大高度；

液滴与基底的表面接触面积可以表示为：

Sbase＝πrb2                         (5)式中，rb为液滴与二级微纳结构表面接触圆半径；

根据每种浸润状态的不同，可以容易求得四种状态下的SLV，SSV0，SSV1，SSV2，SSL0，SSL1，SSL2,所对应的表达式:(a)W-W状态:

SLV＝Sext＝2πR2(1-cosθ)                   (6)2

SSL0＝Sbase(1-f1)(1-f2)＝πrb(1-f1)(1-f2)            (7)SSL1＝Sbaser2[r1-(1-f1)]＝πrb2r2(r1-1+f1)           (8)SSL2＝Sbase(1-f1)[r2-(1-f2)]＝πrb2(1-f1)(r2-1+f2)        (9)式中，u是离散点的横坐标，v是离散点的纵坐标，ha是液滴的最大高度，Sext为球冠液滴的外表面积，Sbase为液滴与基底的接触面积，r1为纳米结构的粗糙度因子，r2为微米结构的粗糙度因子，f1为纳米结构的面积分数，f2为微米结构的面积分数，L0为方形表面区域的边长，rb为液滴与二级微纳结构表面接触圆半径，x1为纳米结构下的浸润深度，x2为微米结构下的浸润深度；

(b)C-W状态

SSL0＝0                     (14)SSL2＝0                     (16)式中，u是离散点的横坐标，v是离散点的纵坐标，ha是液滴的最大高度，Sext为球冠液滴的外表面积，Sbase为液滴与基底的接触面积，r1为纳米结构的粗糙度因子，r2为微米结构的粗糙度因子，f1为纳米结构的面积分数，f2为微米结构的面积分数，L0为方形表面区域的边长，rb为液滴与二级微纳结构表面接触圆半径，x1为纳米结构下的浸润深度，x2为微米结构下的浸润深度；

(c)W-C状态：

SSL0＝0                     (21)式中，u是离散点的横坐标，v是离散点的纵坐标，ha是液滴的最大高度，Sext为球冠液滴的外表面积，Sbase为液滴与基底的接触面积，r1为纳米结构的粗糙度因子，r2为微米结构的粗糙度因子，f1为纳米结构的面积分数，f2为微米结构的面积分数，L0为方形表面区域的边长，rb为液滴与二级微纳结构表面接触圆半径，x1为纳米结构下的浸润深度，x2为微米结构下的浸润深度；

(d)C-C状态：

SSL0＝0                     (28)SSL2＝0                     (30)式中，u是离散点的横坐标，v是离散点的纵坐标，ha是液滴的最大高度，Sext为球冠液滴的外表面积，Sbase为液滴与基底的接触面积，r1为纳米结构的粗糙度因子，r2为微米结构的粗糙度因子，f1为纳米结构的面积分数，f2为微米结构的面积分数，L0为方形表面区域的边长，rb为液滴与二级微纳结构表面接触圆半径，x1为纳米结构下的浸润深度，x2为微米结构下的浸润深度；

将参数带入公式可得四种不同润湿接触状态的系统自由能为：

(a)W-W状态

(b)C-W状态

(c)W-C状态

(d)C-C状态

式中，u是离散点的横坐标，v是离散点的纵坐标，ha是液滴的最大高度，f1是一级结构的固体部分，f2是二级结构的固体部分，是接触表面中实面积与表面积之比；r1是一级结构的粗糙度系数，r2是二级结构的粗糙度系数，即实际总面积与表面积之比；ɑ1和ɑ2分别是一级、二级结构中每种柱阵列截面边长，rb为液滴与二级微纳结构表面接触圆半径；x1为纳米结构下的浸润深度，x2为微米结构下的浸润深度；

23.四种不同润湿接触状态的系统无量纲自由能EI’的确定，I＝1,2,3,4分别代表W-W,C- W ,W -C 和C- C状 态 ：当 给定 重液滴 和双 粗糙表 面的 物理性 质时 ，是恒定的，并且由杨氏方程可得等效接触角为 四种不同润湿接触状态的系统自由能可以简化为：W-W状态

C-W状态

W-C状态

C-C状态

式中，θe1，θe2和θe0分别表示平坦表面上液滴在一级结构，二级结构和基底上的本征接触角；f1是一级结构的固体部分，f2是二级结构的固体部分，是接触表面中实面积与表面积之比；r1是一级结构的粗糙度系数，r2是二级结构的粗糙度系数即实际总面积与表面积之比；ɑ1和ɑ2分别是一级、二级结构中每种柱阵列截面边长，rb为液滴与二级微纳结构表面接触圆半径；x1为纳米结构下的浸润深度，x2为微米结构下的浸润深度；

(3)四种接触状态下局部最小无量纲自由能的优化：

31.变量：ui，vi，i＝1,2,...,N+1，液滴在一级结构x1和二级结构x2中的渗透深度；

32.约束:

i.

ii.

iii.0≤x1＜h1,0≤x2＜h2                                       (45)iv.因为轮廓曲线函数u＝f(v)是一个凸函数,所以

v.

其中，hɑmax是液滴的最大高度，V是液滴的体积，ui是离散点的横坐标，vi是离散点的纵坐标，rbmax是接触线半径的最大值，x1是液滴在一级结构中的渗透深度，x2是液滴在二级结构中的渗透深度，h1是一级结构的高度，h2是二级结构的高度；

33.搜索:

在约束条件下搜索变量x1,x2,h1,h2,利用Matlab函数“fmincon”得到最佳对象并计算出四种润湿接触状态下的部分最小无量纲自由能EImin’，I＝1,2,3,4；

(4)四种接触状态下整体最小无量纲自由能的优化：利用Matlab函数“fmincon”来搜索部分最小无量纲自由能EImin’，I＝1,2,3,4，中的整体最小无量纲自由能Emin’，不断计算，直到整体最小无量纲自由能差收敛到10-4的可接受范围内；这时的无量纲自由能就认为是整体最小无量纲自由能，并记下对应整体最小无量纲自由Emin’能时的离散点，并通过它们可以获得轮廓曲线和表面接触角 以及相应的润湿状态I和接触圆半径rb；否则，加倍等分数N，再次进行步骤(1)，步骤(3)和步骤(4)。