1.一种水平规则双粗糙度表面重液滴接触角滞后的计算方法，包括以下步骤：(1)假设一个由液滴和微纳二级结构表面组成的模型，其中第一级纳米结构和第二级微米结构都是方柱，几何尺度周期性分布，二级结构和基底由不同的材料组成；模型的总表观面积为边长L0的正方形，边长大于液滴直径；a1，b1，h1和x1分别是第一级结构方柱的边长、间距、高度和浸润深度，a2，b2，h2和x2分别是第二级结构方柱的边长、间距、高度和浸润深度，第一级结构的尺寸小于第二级结构；由于水平规则的双粗糙度表面上的重液滴形状是轴对称的，所以在二维平面上考虑了这个问题；选择重液滴的对称轴为v轴，重液滴的表面接触面为u轴，并利用有限差分法将重液滴的轮廓曲线沿v方向分成N等份，得到离散点：其中，ha是液滴的最大高度,ui是离散点的横坐标，vi是离散点的纵坐标；

(2)四种不同润湿接触状态的系统无量纲自由能函数的推导，推导过程如下：S21.通过重液滴在一级结构和二级结构中的渗透深度,将润湿接触状态分为四种，分别为W‑W,C‑W,W‑C和C‑C状态，划分依据如下：(a)一级结构和二级结构均处于Wenzel状态，即x1＝h1，x2＝h2，这种接触状态命名为W‑W状态；

(b)一级结构处于Cassie状态或者接触状态将从Cassie状态转变为Wenzel状态，二级结构处于Wenzel状态，即0≤x1

(c)一级结构处于Wenzel状态，二级结构处于Cassie状态或者接触状态将从Cassie状态转变为Wenzel状态，即x1＝h1，0≤x2

(d)一级结构和二级结构均处于Cassie状态或者接触状态将从Cassie状态转变为Wenzel状态，即0≤x1

其中，x1是液滴在一级结构中的渗透深度，x2是液滴在二级结构中的渗透深度，h1是一级结构的高度，h2是二级结构的高度；

S22.四种不同润湿接触状态的系统自由能EI等于EI＝Ea+Eb，I＝1,2,3,4；下标I＝1,2,

3,4分别表示W‑W,C‑W,W‑C和C‑C状态；Ea和Eb分别代表重力势能和表面自由能；

Ea可以表示为：

Eb可以表示为：

Eb＝γLVSLV+γSL0SSL0+γSL1SSL1+γSL2SSL2+γSV0SSV0+γSV1SSV1+γSV2SSV2  (3)其中，ρ是液体密度，g是重力加速度，S是界面的接触面积，γ是界面张力系数，下标LV，SL和SV分别代表液‑气，固‑液和固‑气界面，下标1，2和0分别代表一级结构，二级结构和基底；

液滴的外表面积Sext可以表示为：式中，u是离散点的横坐标，v是离散点的纵坐标，ha是液滴的最大高度；

液滴与基底的表面接触面积可以表示为：2

Sbase＝πrb  (5)

式中，rb为液滴与二级微纳结构表面接触圆半径；

根据每种浸润状态的不同，可以容易求得四种状态下的SLV，SSV0，SSV1，SSV2，SSL0，SSL1，SSL2,所对应的表达式:

(a)W‑W状态:

2

SLV＝Sext＝2πR(1‑cosθ)  (6)2

SSL0＝Sbase(1‑f1)(1‑f2)＝πrb(1‑f1)(1‑f2)  (7)2

SSL1＝Sbaser2[r1‑(1‑f1)]＝πrbr2(r1‑1+f1)  (8)2

SSL2＝Sbase(1‑f1)[r2‑(1‑f2)]＝πrb(1‑f1)(r2‑1+f2)  (9)式中，u是离散点的横坐标，v是离散点的纵坐标，ha是液滴的最大高度，Sext为球冠液滴的外表面积，Sbase为液滴与基底的接触面积，r1为纳米结构的粗糙度因子，r2为微米结构的粗糙度因子，f1为纳米结构的面积分数，f2为微米结构的面积分数，L0为方形表面区域的边长，rb为液滴与二级微纳结构表面接触圆半径，x1为纳米结构下的浸润深度，x2为微米结构下的浸润深度；

(b)C‑W状态

SSL0＝0  (14)

SSL2＝0  (16)

式中，u是离散点的横坐标，v是离散点的纵坐标，ha是液滴的最大高度，Sext为球冠液滴的外表面积，Sbase为液滴与基底的接触面积，r1为纳米结构的粗糙度因子，r2为微米结构的粗糙度因子，f1为纳米结构的面积分数，f2为微米结构的面积分数，L0为方形表面区域的边长，rb为液滴与二级微纳结构表面接触圆半径，x1为纳米结构下的浸润深度，x2为微米结构下的浸润深度；

(c)W‑C状态：

SSL0＝0  (21)

式中，u是离散点的横坐标，v是离散点的纵坐标，ha是液滴的最大高度，Sext为球冠液滴的外表面积，Sbase为液滴与基底的接触面积，r1为纳米结构的粗糙度因子，r2为微米结构的粗糙度因子，f1为纳米结构的面积分数，f2为微米结构的面积分数，L0为方形表面区域的边长，rb为液滴与二级微纳结构表面接触圆半径，x1为纳米结构下的浸润深度，x2为微米结构下的浸润深度；

(d)C‑C状态：

SSL0＝0  (28)

SSL2＝0  (30)

式中，u是离散点的横坐标，v是离散点的纵坐标，ha是液滴的最大高度，Sext为球冠液滴的外表面积，Sbase为液滴与基底的接触面积，r1为纳米结构的粗糙度因子，r2为微米结构的粗糙度因子，f1为纳米结构的面积分数，f2为微米结构的面积分数，L0为方形表面区域的边长，rb为液滴与二级微纳结构表面接触圆半径，x1为纳米结构下的浸润深度，x2为微米结构下的浸润深度；

将参数带入公式可得四种不同润湿接触状态的系统自由能为：(a)W‑W状态

(b)C‑W状态

(c)W‑C状态

(d)C‑C状态

式中，u是离散点的横坐标，v是离散点的纵坐标，ha是液滴的最大高度，f1是一级结构的固体部分，f2是二级结构的固体部分，是接触表面中实面积与表面积之比；r1是一级结构的粗糙度系数，r2是二级结构的粗糙度系数，即实际总面积与表面积之比；ɑ1和ɑ2分别是一级、二级结构中每种柱阵列截面边长，rb为液滴与二级微纳结构表面接触圆半径；x1为纳米结构下的浸润深度，x2为微米结构下的浸润深度；

S23.四种不同润湿接触状态的系统无量纲自由能EI’的确定，I＝1,2,3,4分别代表W‑W,C‑ W ,W ‑C 和C‑ C状 态 ：当 给定 重液滴 和双 粗糙表 面的 物理性 质时 ，是恒定的，并且由杨氏方程

可得等效接触角为 四种不同润湿接触状态的系统自由能可以简化为：(a)W‑W状态

(b)C‑W状态

(c)W‑C状态

(d)C‑C状态

(3)计算出当前重液滴的润湿状态If,接触圆半径rb‑f,液滴在一级结构中的渗透深度x1‑f和液滴在级级结构中的渗透深度x2‑f；

S31.四种接触状态下局部最小无量纲自由能的优化：S311.变量：离散点坐标ui，vi，i＝1,2,...,N+1，液滴在一级结构x1和二级结构x2中的渗透深度；

S312.约束:

i.

ii.

iii.0≤x1

其中，hɑmax是液滴的最大高度，V是液滴的体积，ui是离散点的横坐标，vi是离散点的纵坐标，rbmax是接触线半径的最大值，x1是液滴在一级结构中的渗透深度，x2是液滴在二级结构中的渗透深度，h1是一级结构的高度，h2是二级结构的高度；

S313.搜索:

在约束条件下搜索变量x1,x2,h1,h2,利用Matlab函数“fmincon”得到最佳对象并计算出四种润湿接触状态下的部分最小无量纲自由能EImin’，I＝1,2,3,4；

S32.四种接触状态下整体最小无量纲自由能的优化：利用Matlab函数“fmincon”来搜索部分最小无量纲自由能EImin’，I＝1,2,3,4，中的整体最小无量纲自由能Emin’，不断计算，‑4

直到整体最小无量纲自由能差收敛到10 的可接受范围内；这时的无量纲自由能就认为是整体最小无量纲自由能，计下当前重液滴的润湿状态If,接触圆半径rb‑f,液滴在一级结构中的渗透深度x1‑f和液滴在级级结构中的渗透深度x2‑f；否则，加倍等分数N，再次进行步骤

31和步骤32；

(4)设置初始体积增量为ΔV＝0.5V，接触圆半径固定且u1＝rb＝rb‑f，x1＝x1‑f，计算对应的最小无量纲自由能EV+ΔV‑fix’，即EImin’；设u1＝rb，v1＝0，因为I,rb,x1和x2为定值时，所以最小无量纲自由能的优化为:

(a)变量:离散点坐标

(b)设置优化对象EI'min和约束条件i,ii,iii,iv以及v，同步骤32；

(c)在约束条件下搜索变量u1,v1,i＝2,.....,N+1，在接触圆固定的条件下，利用Matlab中的fmincon函数得到最优对象并计算出整体最小无量纲自由能EImin’；不断进行计‑4

算，直到整体最小无量纲自由能差收敛到10 的可接受范围内，这时的无量纲自由能就认为是整体最小无量纲自由能EImin’，即体积为ΔV+V的重液滴对应的最小无量纲自由能EV+ΔV‑fix’；同时记下离散点pi‑f[u0,v0]和pi‑f[ui,vi]并得到相应的轮廓曲线以及相应的表面接触角通过公式 其中i＝2,.....,N+1；否则，就加倍等分数N，重复步骤(b)、(c)；

(5)当接触圆半径改变时，即接触圆变化时，局部最小无量纲自由能从变EV+ΔV‑fix’为EV+ΔV’，重复步骤(3)，计算出EV+ΔV’＝Emin’；

(6)CAH是由接触圆上的能量势垒造成的，可以通过计算得出Ebarr＝U0l0+U1l1+U2l2，式中，Ebarr是能量势垒，U0，U1和U2分别是液滴和基底、一级结构和二级结构间的能量势垒；l0，l1，l2分别是液滴和基底、一级结构和二级结构间的实际长度；当接触圆变化时，局部最小无量纲自由能从EV+ΔV‑fix’变为EV+ΔV’；ΔE＝EV+ΔV‑fix’‑EV+ΔV’>0可知，当接触圆变化时，接触圆获得了潜在的能量ΔE；当ΔE＝Ebarr时，接触圆会向前，这是的ACA就是θɑ；

(7)通过使用二进制迭代法，可以搜索到ΔV和相应的θɑ＝θV+ΔV‑fix使得EV+ΔV‑fix’‑EV+ΔV’＝Ebarr；

(8)设置初始体积增量为ΔV＝‑0.5V并使用相同的方法计算出θr，并计算出接触角滞后CAH＝θɑ‑θr。