1.分数阶混沌机电换能器系统的自适应backstepping最优控制方法，其特征在于，包括如下步骤：(1)系统建模；机电换能器系统由机械和电气两部分组成，沿Z轴方向震荡运动的机械部分由移动梁、弹簧和操作杆组成，操作杆绑定在移动梁上并封装在弹簧中，电气部分由电阻、电容和感应器组成，这三个器件与正弦电压电源串联；机电换能器系统的动力学方程写为其中m,η,k,l和B分别表示质量、粘性摩擦系数、刚度系数、动圈长度和密度磁通量，L,R,C0,v0和Ω分别表示电感、电阻、电容、振幅和频率，a3和a5均为系统系数；定义变量其中Q0表示电容的参考电荷， t＝ωeτ，其中 考虑到电介质的分数行为和系统的动力学特性以及加入饱和控制输入，机电换能器系统的无量纲方程写为：式中

均表示无量纲参数，α,C和ω表示满足0＜α＜1的分数阶数，Caputo分数导数和频率，u2(v2)和u4(v4)表示饱和控制输入，定义为式中ui,L和ui,R表示饱和控制输入的下限和上限；

模糊小波神经网络的知识库由一系列模糊IF‑THEN规则组成，其规则如下：如果x10表示…，xn0表示 那么 等于ωj,j＝1,…,n，(4)；其中 表示第i个输入的第j个隶属函数，n和N表示输入数量和规则数量；

定义规则的触发程度：

其中i＝1,…,N，j＝1,…,n，n和N表示输入数量和规则数量， 和 分别表示隶属函数的中心和宽度；

对应规则表示为：

T T

定义ξ≡[ξ1,…,ξN]和φ≡[φ1,…,φN]，模糊小波神经网络的最终输出为其中 表示输入变量矢量， 表示权重矢量；

存在

*

其中ε(X)和DX表示逼近误差和输入变量矢量X的紧集，设最优参数φ 等于*其中Ωφ表示权重矢量φ的紧集，定义 其中φ 表示一个虚构量，同时有 其中

模糊小波神经网络的权向量变换推导为其中 表示λi的估计值，bi表示一个正常数；

定义1：实函数F(t)的左边Caputo分数导数写为其中Γ(n‑α)表示伽马函数，其表达式为 实函数F(t)的右边Caputo分数导数写为

定义2:F(t)的左边Riemann‑Liouville分数积分定义为F(t)的右边Riemann‑Liouville分数积分定义为n

引理1：如果y(x)∈C[a,b]和α＞0,它有以下几个等式假设1：参考信号xri,i＝1,3和它的导数连续且可获得；

(2)动力学分析；通过相图和时序图揭示分数阶机电换能器系统在不同激励和分数阶值下的动力学行为；

(3)设计自适应前馈控制器；设计辅助系统补偿饱和控制输入的影响，利用跟踪微分器实现对分数阶导数信号的估计，构建模糊小波神经网络逼近动态系统的未知函数，把具有单一权值的模糊小波神经网络、跟踪微分器和辅助系统融合到分数阶backstepping控制框架中，设计自适应前馈控制器；设计自适应前馈控制器具体为：跟踪微分器TD在不需要数学表达式的情况下实现对信号的估计，采用分数阶跟踪微分器重构虚拟控制的导数，则其中zi和zi+1表示跟踪微分器的状态,zr,i表示跟踪微分器的输入信号,κi和σi表示设计常数满足κi＞0和0＜σi＜1；

将与自适应前馈控制器相关的跟踪误差设计为其中 表示辅助变量；

在(16)中，αi表示虚拟控制且定义为 其中 和 分别表示自适应前馈控制器的虚拟控制输入和最优反馈控制输入；

为了解决输入约束问题，选择辅助系统其中ksi＞0,i＝2,4；

步骤1：在卡普托分数微积分的定义中，对e1求导虚拟控制选为

其中k1＞0表示设计参数；

将第一个Lyapunov稳定准则考虑为对V1(t)求导得到

步骤2：对e2求导得到

其中 表示一个连续函数且

为了处理未知项f2(X)，采用模糊小波神经网络来估计选择第二个Lyapunov稳定准则为其中μ2表示正常数；

对V2(t)求导得到

利用杨式不等式，得到

事实上，由于 计算复杂，无法直接获得，利用跟踪微分器来估计 即等于z2，将(26)代入(25)得到具有自适应规律的控制输入选择如下：其中μ2,g2和k2表示正常数；

将(28)和(29)代入到(27)，得到步骤3：将第三个Lyapunov稳定准则定义为对V3(t)求导，得到

选择虚拟控制为

其中k3＞0表示设计常数；

利用(33)，将V3(t)的导数重写为步骤4:选择最后一个Lyapunov候选函数 其中μ4表示正常数，对e4求导得到

其中 表示一个连续函数且

利用模糊小波神经网络估计未知非线性函数 存在关系式同样，通过分数阶跟踪微分器， 被z4取代；然后，V4(t)的导数通过一系列的求导和变换得到设计控制输出为

其中k4为正常数；

相应的分数阶自适应律表示

其中μ4和g4表示正常数；

根据(37)和(38)，(36)进一步表示为T

定义E≡[e1,e2,e3,e4]和 然后(39)写为其中

整个控制器由两部分组成：自适应前馈控制器 和最优反馈控制输入最优反馈控制器的非线性系统写为：(4)设计最优反馈控制器；利用模糊小波神经网络估计成本函数，借助涉及执行‑评价神经网络的自适应算法，解决最优控制设计的HJB方程，整个控制器由自适应前馈控制器和最优反馈控制器构成；设计最优反馈控制器具体为：将涉及内部动力学的分数阶系统写为T其中H(E)＝[0,h2(e2),0,h4(e4)] ,G表示四阶单位矩阵；

*

根据无限域积分成本，构造最优反馈控制输入U来实现两个目标：E收敛到零的一个小邻域，成本函数最小化为其中Q(E)≥0表示惩罚函数， 表示对称正定矩阵；

将哈密顿函数定义为

T T

H(E,U)＝Q(E)+URU+(▽J) (H(E)+GU)    (44)其中▽J表示相对于E的J(E)梯度；

*

假设HJB方程 存在且唯一，其中J表示最优成本函数，给出最优反馈控*

制输入U：

* *

其中▽J(E)表示J(E)的梯度；

把(45)插入(44)得到下面的HJB方程考虑具有成本函数(43)和最优反馈控制输入(45)的非线性系统(42)，定义一个Lyapunov函数Js，使 对于任意E≠0，引入正定函数Υ(E)满* T

足条件Υ(E)＞0, 和 得到关系式(▽J (E)) Υ(E)▽Js(E)＝Q(E)+*T *

U RU；

T * T

那么推断为(▽Js(E)) (H(E)+GU)＜‑(▽Js(E)) γ(E)▽Js(E)    (47)基于价值函数逼近VFA的评价神经网络在误差下逼近成本函数J及其梯度，存在一个模糊小波神经网络(48)的梯度写为

* T

▽J(E)＝(▽ξn(E)) φn+▽εn(E)    (49)将(49)代入(45)得到

HJB方程推导出来

其中 残余误差eHJB定义为评价神经网络的输出表示为

其中 表示φn的估计值，最优反馈控制器设计为HJB方程重写为

*

对于任何可行的最优反馈控制输入U ,设计估计权重 的自适应律，实现最小化平方残差，则然后 和en→eb，基于归一化梯度下降算法，选择包含执行‑评价神经网络的更新律其中 au,Fu1

和Fu2表示调节参数；

更新律由三部分组成，第一部分用于稳定性分析，第二部分用来求解 的最小值，最后一个部分保证整个过程中所有系统状态的有界性；

(5)稳定性分析。