1.一对线性约束控制分量下过驱动系统控制可达集确定方法，其特征在于，包括以下步骤:

1)将控制集ΩSLR所有边界面分为 个分组；

ΩSLR为一对线性约束控制分量下过驱动系统的控制集，ΩSLR的边界 由矩形或三角形构成，将构成 的所有矩形和三角形称为控制集的边界面；ΩSLR＝{uSLR}，uSLR为仅存在一对线性约束控制分量、其余分量均为独立控制分量的过驱动系统的控制向量，uSLR＝(u1,...,um)T，ui min≤ui≤ui max，i＝1,...,m；

表示唯一存在；第i个分量ui为对应的第i个执行器的控制作用量，m为执行器的数目；

ui min为第i个执行器控制作用量的约束最小值，ui max为第i个执行器控制作用量的约束最大值；若uSLR的两个分量取值在对应最小值和最大值之间，其余m-2个分量取值为对应的最小或最大值，则所述m个分量形成2m-2个控制集的边界面；

记uSLR中任意两个分量为第p个分量和第q个分量，第p个分量和第q个分量取值在对应最小值和最大值之间，1≤p≤m，1≤q≤m,p＜q，其余m-2个分量取值为对应最小或最大值，形成2m-2个边界面分为一组，称为p-q分组；则控制集所有边界面共得到 个分组，每组有

2m-2个边界面，控制集的边界面共 个；

2)对步骤1)的 个分组中的每一个分组，确定准关键边界面和关键边界面；

一对线性约束控制分量下过驱动系统的控制可达集ΦSLR为三维空间，表达式如下：其中，v为过驱动系统的控制可达向量，v＝(v1,v2,v3)T，其中vj为第j个控制可达分量，1≤j≤3，m＞3；B为3行m列的控制效率矩阵；

令 表示ΦSLR的边界；记映射到ΦSLR的像可能在边界 的ΩSLR中边界面为准关键边界面，记映射到ΦSLR的像一定在边界 的ΩSLR中边界面为关键边界面；记Γ1为准关键边界面集合，Γ2为关键边界面集合，Γ3为准关键边界面和关键边界面集合；三个集合初始化为空集；

2-1)任意选取一个未完成确定准关键边界面和关键边界面的分组记为p-q分组；对p-q分组，构造旋转变换矩阵R，使得控制可达集ΦSLR的坐标系进行旋转变换后，第1个坐标轴v1垂直于该p-q分组边界面在ΦSLR的像；具体构造方法如下：令C＝R·B，B为3行m列的控制效率矩阵，B中任意三列线性无关，C为两个矩阵相乘得到的矩阵；

记

将R、B代入C＝R·B，则c1p＝0，c1q＝0，即：计算得到r11、r12、r13；

2-2)利用C＝R·B计算C矩阵的第一行(c11,...,c1m)；

由于矩阵B的任意三列线性无关，其中有且只有c1p＝0,c1q＝0,其余c1i≠0,1≤i≤m,i≠p,i≠q；

当c1i＞0时,令ui＝ui max；当c1i＜0时,令ui＝ui min；令up＝up max或up min,uq＝uq max或uq min，得到四个顶点，确定一个矩形，记为γ1；

同时，当c1i＞0时，令ui＝ui min；当c1i＜0时,令ui＝ui max；令up＝up max或up min,uq＝uq max或uq min，得到四个顶点，确定一个矩形，记为γ2；

2-3)确定p-q分组的准关键边界面和关键边界面；具体步骤如下：

2-3-1)对p和q进行判定：

记k为一对线性约束控制分量对应的正奇数；若第p个和第q个控制分量都不是线性约束控制分量，即当{p≠k}且{p≠k+1}且{q≠k}且{q≠k+1}时，则进入步骤2-3-2)；若第p个和第q个控制分量中有且仅有一个是线性约束控制分量，当{p＝k,q≠k+1}或{p＝k+1}或{q＝k}或{p≠k且q＝k+1}时，则进入步骤2-3-3)；若第p个和第q个控制分量是一对线性约束控制分量，即当{p＝k,q＝k+1}时，则进入步骤2-3-4)；

2-3-2)对步骤2-2)得到的γ1、γ2依次处理如下：

2-3-2-1)若γ1的四个顶点的第k个分量、第k+1个分量均为对应约束最大值，即分别为uk max、uk+1 max，则按下式计算d01、d02：d01＝|c1 k·(uk max-uk min)|，d02＝|c1 k+1·(uk+1 max-uk+1 min)|；d01为c1 k与uk max-uk min之积的绝对值，d02为c1 k+1与uk+1 max-uk+1 min之积的绝对值；

若d01≤d02，则将γ1的四个顶点的第k个分量改为uk min，其余各分量不变，γ1修改后的四个顶点确定一个矩形，为一个准关键边界面，记为γ11，将γ11加入集合Γ1，进入步骤2-3-

2-2)；

若d01＞d02，则将γ1的四个顶点的第k+1个分量改为uk+1 min，其余各分量不变，γ1修改后的四个顶点确定一个矩形，为一个准关键边界面，记为γ11，将γ11加入集合Γ1，进入步骤2-

3-2-2)；

若γ1的四个顶点的第k个分量、第k+1个分量不满足均为对应约束最大值，则γ1为一个关键边界面，将γ1加入集合Γ2，进入步骤2-3-2-2)；

2-3-2-2)若γ2的四个顶点的第k个分量、第k+1个分量均为对应约束最大值，即分别为uk max、uk+1 max，则按下式计算d01、d02：d01＝|c1 k·(uk max-uk min)|，d02＝|c1 k+1·(uk+1 max-uk+1 min)|；

若d01≤d02，则将γ2的四个顶点的第k个分量修改为uk min，其余各分量不变，γ2修改后的四个顶点确定一个矩形，为一个准关键边界面，记为γ21，将γ21加入集合Γ1，进入步骤2-

3-5)；

若d01＞d02，则将γ2的四个顶点的第k+1个分量改为uk+1 min，其余各分量不变，γ2修改后的四个顶点确定一个矩形，为一个准关键边界面，记为γ21，将γ21加入集合Γ1，进入步骤2-

3-5)；

若γ2的四个顶点的第k个分量、第k+1个分量不满足均为对应约束最大值，则γ2为一个关键边界面，将γ2加入集合Γ2，进入步骤2-3-5)；

2-3-3)对步骤2-2)得到的γ1、γ2依次处理如下：

2-3-3-1)判定：若{p＝k,q≠k+1}或{q＝k}，则进入步骤2-3-3-2)；若{p＝k+1}或{p≠k,q＝k+1}，则进入步骤2-3-3-6)；

2-3-3-2)步骤2-2)得到两个矩形γ1、γ2中，存在一个矩形的四个顶点中第k+1个分量均为uk+1 min，将该矩形重新记为γ0，γ0即为一个关键边界面，将γ0加入集合Γ2；γ1、γ2中存在一个矩形的四个顶点中第k+1个分量均为uk+1 max，将该矩形重新记为π0，π0的四个顶点中存在两个顶点的第k个分量为uk max，将这两个顶点的第k+1个分量改为uk+1 min，将π0修改后的两个顶点与π0中未修改的两个顶点确定的矩形记为π1，然后进入步骤2-3-3-3)；

2-3-3-3)构造旋转变换矩阵G，使得控制可达集ΦSLR的坐标系进行旋转变换后，第1个坐标轴v1垂直于π1在ΦSLR的像；具体方法如下：令H＝G·B；记

H为矩阵G与矩阵B相乘得到的矩阵；

将G、B代入H＝G·B，当p＝k时，r＝q；当q＝k时，r＝p：求解得到g11、g12、g13；

2-3-3-4)利用H＝G·B计算H矩阵的第一行(h11,...,h1m)；

当h1i＞0时，1≤i≤m,i≠k,k+1,r,调整π1四个顶点的第i个分量为ui max；当h1i＜0时,调整π1四个顶点的第i个分量为ui min；调整完毕后，得到四个新顶点确定一个矩形，记为π11；

同时，当h1i＞0时,调整π1四个顶点的第i个分量为ui min；当h1i＜0时,调整π1四个顶点的第i个分量为ui max；调整完毕后，得到四个新顶点，确定一个矩形，记为π12；

2-3-3-5)π11的四个顶点经映射v＝B·uSLR得到的四个点确定一个平面方程，记为f1(v1,v2,v3,d)＝0，对应的多项式记为δ＝f1(v1,v2,v3,d)；将γ0的四个顶点经映射v＝B·uSLR得到的四个点代入δ＝f1(v1,v2,v3,d)，所得结果记为δ1、δ2、δ3、δ4；

若δ1、δ2、δ3、δ4中正、负数都有，则π12为准关键边界面，将π12加入集合Γ1，然后进入步骤

2-3-5)；若δ1、δ2、δ3、δ4均为非负数或均为非正数，则将π12的四个顶点经映射v＝B·uSLR得到的四个顶点代入δ＝f1(v1,v2,v3,d)，所得结果记为δ5、δ6、δ7、δ8；若δ1、δ5、δ6、δ7、δ8中正、负数都有，则π12为准关键边界面，将π12加入集合Γ1，然后进入步骤2-3-5)；若δ1、δ5、δ6、δ7、δ8均为非负数或均为非正数，则π11为准关键边界面，将π11加入集合Γ1，然后进入步骤2-3-5)；

2-3-3-6)步骤2-2)得到两个矩形γ1、γ2中，存在一个矩形的四个顶点中第k+1个分量均为uk+1 min，该矩形即为一个关键边界面，将该矩形加入集合Γ2，进入步骤2-3-5)；

2-3-4)对步骤2-2)得到的γ1、γ2依次处理如下：将γ1的四个顶点中第k个分量为uk max且第k+1个分量为uk+1 max的顶点去掉，剩余三个顶点形成的三角形即为一个关键边界面,记为γ11，将γ11加入集合Γ2；将γ2的四个顶点中第k个分量为uk max且第k+1个分量为uk+1 max的顶点去掉，剩余三个顶点形成的三角形即为一个关键边界面，记为γ21，将γ21加入集合Γ2,进入步骤2-3-5)；

2-3-5)重新返回步骤2-1)，选取下一个未完成确定准关键边界面和关键边界面的分组，直至所有分组均已确定准关键边界面和关键边界面，将集合Γ1中的所有边界面与集合Γ2中的所有边界面加入集合Γ3，然后进入步骤3)；

3)确定控制可达集边界 具体步骤如下：

3-1)对Γ1进行判定：若Γ1为空集，则进入步骤3-3)；否则，进入步骤3-2)；

3-2)在Γ1中任意取一个准关键边界面，记为γ3，对γ3处理如下：将γ3的四个顶点经映射v＝B·uSLR得到的四个点确定一个平面方程，记为f2(v1,v2,v3,d)＝

0，对应的多项式记为 在Γ2中任意选取一个三角形关键边界面，记为γ4，将γ4的三个顶点经映射v＝B·uSLR得到的三个点代入 所得结果记为 若中正、负数都有，则将γ3从Γ1中去掉，重新返回步骤3-1)；否则，若 均为非负数或均为非正数，则在 中任选一个不为0的数，记为 并依次将Γ3中每个边界面的每个顶点经映射v＝B·uSLR得到的点代入 所得结果依次记为τ为Γ3中边界面的个数；若存在整数i,1≤i≤4τ,使得 则将γ3从Γ1中去掉，重新返回步骤3-1)；否则，若存在整数i,1≤i≤4τ,使得 则将γ3加入Γ2中，然后重新返回步骤3-1)；

3-3)Γ2中的所有边界面即控制集的所有关键边界面；将Γ2中每一个关键边界面的所有顶点经过映射v＝B·uSLR得到对应控制可达集边界面的所有顶点，从而确定一个控制可达集边界面，该控制可达集边界面为四边形或三角形；Γ2中所有关键边界面确定的控制可达集边界面，构成控制可达集边界