1.每对线性约束控制分量下过驱动系统控制可达集确定方法，其特征在于，包括以下步骤:

1)将控制集ΩELR所有边界面分为 个分组；

ΩELR为每对控制分量均为线性约束控制分量情况下过驱动系统的控制集，ΩELR的边界由矩形或三角形构成，将构成 的矩形或三角形称为控制集的边界面；ΩELR＝{uELR}，uELR为每对控制分量均为线性约束控制分量的过驱动系统的控制向量，uELR＝(u1,...,um)T，uimin≤ui≤uimax，i＝1,...,m；

第i个分量ui为对应的第i个执行器的控制作用量，m为执行器的数目；uimin为第i个执行器控制作用量的约束最小值，uimax为第i个执行器控制作用量的约束最大值；若uELR的两个分量取值在对应的最小值和最大值之间，其余m-2个分量取值为对应的最小或最大值，则所述m个分量形成2m-2个控制集的边界面；

记uELR中任意两个分量为第p个分量和第q个分量，第p个分量和第q个分量取值在对应最小值和最大值之间，1≤p≤m，1≤q≤m,p＜q，其余m-2个分量取值为对应最小或最大值，m-2形成2 个边界面分为一组，称为p-q分组；则控制集所有边界面共得到 个分组，每组有

2m-2个边界面，控制集的边界面共 个；

2)对步骤1)的 个分组中的每一个分组，确定准关键边界面和关键边界面；

每对控制分量均为线性约束控制分量情况下过驱动系统的控制可达集ΦELR为三维空间，表达式如下：

其中，v为过驱动系统的控制可达向量，v＝(v1,v2,v3)T，其中vj为第j个控制可达分量，1≤j≤3，m＞3；B为3行m列的控制效率矩阵；

令 表示ΦELR的边界；记映射到ΦELR的像可能在边界 的ΩELR中边界面为准关键边界面，记映射到ΦELR的像一定在边界 的ΩELR中边界面为关键边界面；记Γ1为准关键边界面集合，Γ2为关键边界面集合，Γ3为准关键边界面和关键边界面集合；三个集合初始化为空集；

2-1)任意选取一个未完成确定准关键边界面和关键边界面的分组记为p-q分组；对p-q分组，构造旋转变换矩阵R，使得控制可达集ΦELR的坐标系进行旋转变换后，第1个坐标轴v1垂直于该p-q分组边界面在ΦELR的像；具体构造方法如下：令C＝R·B，B为3行m列的控制效率矩阵，B中任意三列线性无关，C为两个矩阵相乘得到的矩阵；

记

将R、B代入C＝R·B，则c1p＝0，c1q＝0，即：计算得到r11、r12、r13；

2-2)利用C＝R·B计算C矩阵的第一行(c11,...,c1m)；

由于矩阵B的任意三列线性无关，其中有且只有c1p＝0,c1q＝0,其余c1i≠0,1≤i≤m,i≠p,i≠q；

当c1i＞0时,令ui＝uimax；当c1i＜0时,令ui＝uimin；令up＝upmax或upmin,uq＝uqmax或uqmin，得到四个顶点，确定一个矩形，记为γ1；

同时，当c1i＞0时，令ui＝uimin；当c1i＜0时,令ui＝uimax；令up＝upmax或upmin,uq＝uqmax或uqmin，得到四个顶点，确定一个矩形，记为γ2；

2-3)判定：当p为奇数且q＝p+1时，进入步骤2-4)；否则，进入步骤2-5)；

2-4)在p-q分组中确定准关键边界面和关键边界面，具体步骤如下：

2-4-1)记不含第p个且不含第q个分量的一对线性不等式约束分量为固定对分量；令τ＝1，进入步骤2-4-2)；

2-4-2)将γτ四个顶点的第p个分量为upmax且第q个分量为uqmax的顶点去掉，剩余三个顶点构成的三角形记为1γτ，进入步骤2-4-3)；

2-4-3)依次检查1γτ三个顶点的所有固定对分量：若1γτ三个顶点的每个固定对分量不满足同时为对应约束最大值，则1γτ为该p-q分组的一个关键边界面，将1γτ加入集合Γ2，然后进入步骤2-4-4)；

否则，对每一对同时为对应约束最大值的固定对分量处理如下：记同时为对应约束最大值的一对分量为第J和第J+1个分量，按下式计算1d01、1d02：1d01＝|c1J·(uJmax-uJmin)|，1d02＝|c1J+1·(uJ+1max-uJ+1min)|；1d01为c1J与uJmax-uJmin之积的绝对值，1d02为c1J+1与uJ+1max-uJ+1min之积的绝对值；若1d01≤1d02，则将1γτ三个顶点的第J个分量改为uJmin；若1d01＞1d02，则将1γτ三个顶点的第J+1个分量改为uJ+1min；所有固定对分量都处理完后，所得三角形记为2γτ，2γτ为该p-q分组的一个关键边界面，将2γτ加入集合Γ2，然后进入步骤2-4-4)；

2-4-4)令 并进行判定：若τ≤2，则重新返回步骤2-4-2)；否则，已得到该p-q分组的所有关键边界面，该p-q分组没有准关键边界面，进入步骤2-6)；

2-5)在p-q分组中确定准关键边界面和关键边界面，具体步骤如下：

2-5-1)记不含第p个且不含第q个分量的一对线性不等式约束分量为固定对分量；令τ＝1，然后进入步骤2-5-2)；

2-5-2)记与第p个分量成对的分量为第p'个分量，与第q个分量成对的分量为第q'个分量；若γτ四个顶点的第p'个分量均为up'min、第q'个分量均为uq'min，则进入步骤2-5-3)；否则，进入步骤2-5-4)；

2-5-3)依次检查γτ四个顶点的每一对固定对分量：若γτ四个顶点的每一对固定对分量不满足同时为对应约束最大值，γτ即为该p-q分组的一个关键边界面，将γτ加入集合Γ2，然后进入步骤2-5-20)；否则，对每一对同时为对应约束最大值的固定对分量处理如下：记同时为对应约束最大值的一对分量为第J和第J+1个分量，按下式计算1d01、1d02：1d01＝

1 1

|c1J·(uJmax-uJmin)|，d02＝|c1J+1·(uJ+1max-uJ+1min)|；d01为c1J与uJmax-uJmin之积的绝对值，

1d02为c1J+1与uJ+1max-uJ+1min之积的绝对值；若1d01≤1d02，将γτ四个顶点的第J个分量改为uJmin；若1d01>1d02，将γτ四个顶点的第J+1个分量改为uJ+1min；所有固定对分量都处理完后，所得矩形记为1γτ，1γτ为该p-q分组的一个准关键边界面，将1γτ加入集合Γ1，然后进入步骤

2-5-20)；

2-5-4)若γτ四个顶点的第p'个分量均为up'max、第q'个分量均为uq'min，将第p个分量为upmax的两个顶点的第p'个分量改为up'min，所得矩形记为1γτ，并令 进入步骤2-5-5)；若γτ四个顶点的第p'个分量均为up'min、第q'个分量均为uq'max，则将第q个分量为uqmax的两个顶点的第q'个分量改为uq'min，所得矩形记为1γτ，并令 进入步骤2-5-10)；若γτ四个顶点的第p'个分量均为up'max、第q'个分量均为uq'max，则将第p个分量为upmax的两个顶点的第p'个分量改为up'min，第q个分量为uqmax的两个顶点的第q'个分量改为uq'min，所得矩形记为1γτ，并令 进入步骤2-

5-15)；

2-5-5)构造旋转变换矩阵G，使得控制可达集ΦELR的坐标系进行旋转变换后，第1个坐标轴v1垂直于1γτ在ΦELR的像；具体方法如下：令H＝G·B；记 H为矩阵G与矩阵B相乘得

到的矩阵；将G、B代入H＝G·B，得到：

求解得到g11、g12、g13,进入步骤2-5-6)；

2-5-6)利用H＝G·B计算H矩阵的第一行(h11,...,h1m)；

当h1i＞0时，调整1γτ四个顶点的第i个分量为uimax；当h1i＜0时,调整1γτ四个顶点的第i个分量为uimin；其中，1≤i≤m,i≠α1,α1+1,q；调整完毕后，得到四个新顶点确定一个矩形，记为21γτ；

同时，当h1i＞0时,调整1γτ四个顶点的第i个分量为uimin；当h1i＜0时,调整1γτ四个顶点的第i个分量为uimax；其中，1≤i≤m,i≠α1,α1+1,q；调整完毕后，得到四个新顶点，确定一

22

个矩形，记为 γτ；

令l＝1，进入步骤2-5-7)；

2-5-7)检查2lγτ四个顶点的第q'个分量，若该分量均为uq'max，则将2lγτ四个顶点的第q'个分量均修改为uq'min，修改后得到四个新顶点确定一个矩形，记为3lγτ，然后进入步骤2-

2l 3l

5-8)；否则，将 γτ记为 γτ，然后进入步骤2-5-8)；

2-5-8)依次检查3lγτ四个顶点的每一对固定对分量：若四个顶点的每对固定对分量不同时为对应约束最大值，则将3lγτ记为4lγτ，然后进入步骤2-5-9)；

否则，对每一对同时为对应约束最大值的固定对分量处理如下：记同时为对应约束最

2 2 2

大值的固定对分量为第J和第J+1个分量，按下式计算d01、d02：d01＝|h1J·(uJmax-uJmin)|，

2d02＝|h1J+1·(uJ+1max-uJ+1min)|；2d01为h1J与uJmax-uJmin之积的绝对值，2d02为h1J+1与uJ+1max-uJ+1min之积的绝对值；若2d01≤2d02，则将3lγτ四个顶点的第J个分量改为uJmin；若2d01＞2d02，则将3lγτ四个顶点的第J+1个分量改为uJ+1min；所有固定对分量都处理完后，所得矩形记为4lγτ，然后进入步骤2-5-9)；

2-5-9)对l进行判定：若l＝1，则将4lγτ记为41γτ，然后令 重新返回步骤2-5-

7)；否则，将4lγτ记为42γτ，然后进入步骤2-5-19)；

2-5-10)构造旋转变换矩阵G，使得控制可达集ΦELR的坐标系进行旋转变换后，第1个坐标轴v1垂直于1γτ在ΦELR的像；具体方法如下：令H＝G·B；记 H为矩阵G与矩阵B相乘得

到的矩阵；将G、B代入H＝G·B，得到：

求解得到g11、g12、g13,进入步骤2-5-11)；

2-5-11)利用H＝G·B计算H矩阵的第一行(h11,...,h1m)；

当h1i＞0时，调整1γτ四个顶点的第i个分量为uimax；当h1i＜0时,调整1γτ四个顶点的第i个分量为uimin；其中，1≤i≤m,i≠α2,α2+1,p；调整完毕后，得到四个新顶点确定一个矩形，记为21γτ；

同时，当h1i＞0时,调整1γτ四个顶点的第i个分量为uimin；当h1i＜0时,调整1γτ四个顶点的第i个分量为uimax；其中，1≤i≤m,i≠α2,α2+1,p；调整完毕后，得到四个新顶点确定一个矩形，记为22γτ；

令l＝1，进入步骤2-5-12)；

2l 2l

2-5-12)检查 γτ四个顶点的第p'个分量，若该分量均为up'max，则将 γτ四个顶点的第p'个分量均改为up'min，修改后得到四个新顶点确定一个矩形，记为3lγτ，然后进入步骤2-5-

13)；否则，将2lγτ记为3lγτ，然后进入步骤2-5-13)；

2-5-13)依次检查3lγτ四个顶点的每一对固定对分量：若四个顶点的每对固定对分量

3l 4l

不同时为对应的约束最大值，则将 γτ记为 γτ，然后进入步骤2-5-14)；

否则，对每一对同时为对应约束最大值的固定对分量处理如下：记同时为对应约束最大值的一对分量为第J和第J+1个分量，按下式计算2d01、2d02：2d01＝|h1J·(uJmax-uJmin)|，2d02＝|h1J+1·(uJ+1max-uJ+1min)|；若2d01≤2d02，则将3lγτ四个顶点的第J个分量改为uJmin；若2d01

2 3l

＞d02，则将 γτ四个顶点的第J+1个分量改为uJ+1min；所有固定对分量都处理完后，所得矩形记为4lγτ，然后进入步骤2-5-14)；

2-5-14)对l进行判定：若l＝1，则将4lγτ记为41γτ，然后令 重新返回步骤2-5-

12)；否则，将4lγτ记为42γτ，进入步骤2-5-19)；

2-5-15)构造旋转变换矩阵G，使得控制可达集ΦELR的坐标系进行旋转变换后，第1个坐标轴v1垂直于1γτ在ΦELR的像；具体方法如下：令H＝G·B；记 H为矩阵G与矩阵B相乘得

到的矩阵；将G、B代入H＝G·B，得到：

求解得到g11、g12、g13,进入步骤2-5-16)；

2-5-16)利用H＝G·B计算H矩阵的第一行(h11,...,h1m)；

当h1i＞0时，调整1γτ四个顶点的第i个分量为uimax；当h1i＜0时,调整1γτ四个顶点的第i个分量为uimin；其中，1≤i≤m,i≠α1,α1+1,α2,α2+1；调整完毕后，得到四个新顶点确定一个矩形，记为21γτ；

同时，当h1i＞0时,调整1γτ四个顶点的第i个分量为uimin；当h1i＜0时,调整其四个顶点的第i个分量为uimax；其中，1≤i≤m,i≠α1,α1+1,α2,α2+1；调整完毕后，得到四个新顶点，确定一个矩形，记为22γτ；

令l＝1，进入步骤2-5-17)；

2l

2-5-17)依次检查 γτ四个顶点的每一对固定对分量：若四个顶点的每对固定对分量不同时为对应约束最大值，则将2lγτ记为4lγτ，然后进入步骤2-5-18)；

否则，对每一对同时为对应约束最大值的固定对分量处理如下：记同时为对应约束最大值的一对固定对分量为第J和第J+1个分量，按下式计算2d01、2d02：2d01＝|h1J·(uJmax-

2 2 2 2l

uJmin)|，d02＝|h1J+1·(uJ+1max-uJ+1min)|；若d01≤d02，则将 γτ四个顶点的第J个分量改为uJmin；若2d01＞2d02，则将2lγτ四个顶点的第J+1个分量改为uJ+1min；所有固定对分量都处理完后，所得矩形记为4lγτ，然后进入步骤2-5-18)；

2-5-18)对l进行判定：若l＝1，则将4lγτ记为41γτ，然后令 重新返回步骤2-5-

17)；否则，将4lγτ记为42γτ，然后进入步骤2-5-19)；

2-5-19)41γτ的四个顶点经映射v＝B·uELR得到的四个点确定一个平面方程，记为f1(v1,v2,v3,d)＝0，f1(v1,v2,v3,d)＝0对应的多项式记为δ＝f1(v1,v2,v3,d)；任选步骤2-4-3)得到的一个关键边界面，记为γ0；将γ0的三个顶点经映射v＝B·uELR得到的三个点代入δ＝f1(v1,v2,v3,d)，所得结果记为δ1、δ2、δ3；

对δ1、δ2、δ3进行判定：若δ1、δ2、δ3中正、负数都有，则42γτ为p-q分组的一个准关键边界面，将42γτ加入集合Γ1，然后进入步骤2-5-20)；否则，将42γτ的四个顶点经映射v＝B·uELR得到的四个点代入δ1＝f1(v1,v2,v3,d)，所得结果记为δ4、δ5、δ6、δ7；

若δ1、δ2、δ3、δ4、δ5、δ6、δ7中正、负数都有，则42γτ为p-q分组的一个准关键边界面，将42γτ

41 41

加入集合Γ1，然后进入步骤2-5-20)；否则，γτ为p-q分组的一个准关键边界面，将 γτ加入集合Γ1，然后进入步骤2-5-20)；

2-5-20)令 若τ≤2，则重新返回步骤2-5-2)；否则，在该p-q分组中已确定准关键边界面和关键边界面，进入步骤2-6)；

2-6)重新返回步骤2-1)，选取下一个未完成确定准关键边界面和关键边界面的分组，直至所有分组均已确定准关键边界面和关键边界面，将集合Γ1中的所有准关键边界面与集合Γ2中的所有关键边界面加入集合Γ3，然后进入步骤3)；

3)确定控制可达集边界

3-1)对Γ1进行判定：若Γ1为空集，进入步骤3-3)；否则，进入步骤3-2)；

3-2)在Γ1中任取一个准关键边界面，记为γ3，对γ3处理如下：将γ3的四个顶点经映射v＝B·uELR得到的四个点确定的平面方程，记为f2(v1,v2,v3,d)＝0，f2(v1,v2,v3,d)＝0对应的多项式记为 在Γ2中任取一个三角形关键边界面，记为γ4，将γ4的三个顶点经映射v＝B·uELR得到的三个点代入所得结果记为 若 中正、负数都有，则将γ3从Γ1中去掉，然后重新返回步骤3-1)；否则，若 均为非负数或均为非正数，则在 中任选一个不为

0的数，记为 并依次将Γ3中每个边界面的每个顶点经映射v＝B·uELR得到的点代入所得结果依次记为 ρ为Γ3中所有边界面的顶点个数之和；若存在整数i,1≤i≤ρ,使得 则将γ3从Γ1中去掉，然后重新返回步骤3-1)；否则，若对任意整数i,1≤i≤ρ,均有 则将γ3加入Γ2中，然后重新返回步骤3-1)；

3-3)去掉Γ2中相同的关键边界面，处理完毕后，形成新的关键边界面集合记为Γ4；

Γ4中的所有关键边界面即控制集的所有关键边界面；将Γ4中每一个关键边界面的所有顶点经过映射v＝B·uELR，得到对应控制可达集边界面的所有顶点，从而确定一个控制可达集边界面，该控制可达集边界面为四边形或三角形；Γ4中所有关键边界面确定的控制可达集边界面，构成控制可达集边界