1.双转子气动系统点对点迭代学习最小能量控制方法，其特征在于，所述方法包括：第一步、建立双转子气动系统的动态模型：所述动态模型采用动力学方程表示，描述了直流电动机输入电压uψ,uθ和系统俯仰角ψ与方位角θ之间的转化关系，建立如式(1)所示的实际物理模型：其中，

Kg＝(mmlm‑mtlt)cos(θ)+2mcωlcωsin(θ)；lm表示主旋翼离原点的距离，lt表示尾翼离原点的距离，mm表示旋转梁的主体配重，mt表示旋转梁的尾部配重，mcω和lcω分别表示杠杆两端的质量和相应的杠杆长度，Jz和Jx分别表示旋转梁相对于固定z轴与x轴的转动惯量，g表示重力加速度，Kψ表示阻尼系数，Cψ、Cθ分别表示系统俯仰角ψ与方位角θ对应的弹簧参数值；

第二步、构建所述双转子气动系统的离散状态空间方程：将系统俯仰角、俯仰角的导数、方位角和方位角的导数定义为状态变量：T

定义输入变量为直流电动机输入电压u＝[uψ uθ] ，输出变量为所述系统俯仰角与方位角yT＝[ψ θ]，f表示光滑非线性函数的向量，则式(1)所示的双转子气动系统描述为：T

y＝[ψ θ]

对于式(2)所示的非线性的连续系统模型，利用Jacobian线性化方法在平衡点ψ＝ψo＝0[rad]和θ＝θo＝0[rad]处得到线性化模型，再对其进行离散化，选取满足香农采样定理采样周期Ts，得到双转子气动系统的离散状态空间方程如下：式中t和k分别代表采样时间和批次，批次过程的运行周期为T；在每个重复过程周期内，对于时间点t∈[0，T]取N个采样点； 和 分别是离散状态空间系统的第k批次t时刻的输入、输出和状态向量；A，B，C为式(3)中离散系统各个参数矩阵，且满足CB≠0，并且假设系统每个批次的初始状态一致，令xk(0)＝0；

第三步、建立双转子气动系统提升模型：针对式(3)形式的线性离散系统，将其状态空间方程转换为时间序列的输入输出矩阵模型：yk＝Guk    (4)

其中：

T T T T

uk＝[uk(0) ,uk(1) ,...,uk(N‑1) ]T T T T

yk＝[yk(1) ,yk(2) ,...,yk(N) ]是时间序列上的输入输出传递矩阵；输入输出的内积及相关的诱导范数定义为：

其中，权矩阵R和S为适当维度的实正定矩阵；

第四步、提出点对点迭代学习控制设计框架：选取在运行过程中的当前运行批次中的M个跟踪时间点，定义为ti,i＝1,...,M，跟踪时间点分布定义为Λ：T

Λ＝[t1,t2,...,tM]∈Θ    (7)其中：

p

点对点的参考轨迹r是从完整的参考轨迹r中提取的：p T T T T

r＝[r(t1) ,r(t2) ,...,r(tM) ]    (9)点对点的输出信号 和跟踪误差 与式(9)有同样的表达式：为了将一个信号转换为其点对点形式，引入一个转换矩阵 为M行N列的分块p

矩阵，使得r＝Ψr， 当第i个采样时刻ti为关键跟踪时间点时，转换矩阵第i行的所有N个元素除了j＝t时为单位矩阵(l×l)其余全是零矩阵，Ψ的表达式为：其中，Ψij为转换矩阵Ψ中的第i行第j列的元素；

基于式(4)，推导出点对点双转子气动系统的提升模型为：其中，

第五步、提出点对点迭代学习控制的最小能量问题设计框架：选择控制能量作为目标代价函数：最小能量的设计目的是迭代地寻找一个输入信号uk，相应的输出yk，以及一个跟踪时间点分布Λk，满足：* p * *

其中，y表示准确地经过点对点的参考轨迹r，同时u，Λ是如下问题的优化解：通过先优化输入信号u，再优化跟踪时间点分布Λ，将优化问题(16)分为两个优化问题：*

其中，u (Λ)是优化问题(17)的解析解；由于目标代价函数(14)是凸函数，所以可以保*证解析解u(Λ)是唯一的全局最优解；

第六步、设计点对点迭代学习最小能量控制算法：根据第五步中提出的设计框架，只需设计所述跟踪时间点分布Λ的优化方法，即可导出点对点跟踪问题的迭代学习最小能量控制算法；为了满足实际工业问题设计要求，此处考虑了跟踪误差及控制信号批次间变化，设计如下性能指标：跟踪误差及控制信号批次间变化的内积及相关的诱导范数由式(5)和式(6)导出：其中权矩阵Q是与S维度不同的实正定矩阵；

针对具有性能指标(19)的ILC问题，采用如下范数优化迭代学习控制律解决：为了获取稳态控制输入，令k→∞，并且初始的输入信号u0＝0，则：为了解决优化问题(17)，引入Language乘子λ，构造Language函数：*

令u(Λ)为Language函数的全局最优解，则：将 代入式(25)，则：

当且仅当 不等式(26)成立，并且满足跟踪条件 则有：

由所述范数优化迭代学习控制律生成的稳态控制输入u∞就是优化问题(17)的全局最*优解u(Λ)；

将优化问题(17)的全局最优解表达式(23)代入优化问题(18)，则有：由于集合Θ在离散系统中是有限的，令初始跟踪时间点分布为Λ0，所以优化问题(28)通过坐标下降法解决：其中 表示坐标下降的次数；每个跟踪时间点经过函数 更新：

其中 是如下优化问题的解：

*

基于式(29)生成的序列{h(Λj)}，向下收敛到极限h；

p

给定线性离散时不变系统，初始跟踪时间点分布Λ0以及集合Θ，点对点的参考轨迹r ，选定权矩阵Q和R，趋近于零的常数ε>0和δ>0，则点对点迭代学习最小能量控制算法设计如下：步骤6.1：初始跟踪时间点分布为Λ0时，执行范数优化迭代学习控制律(22)直到系统收*敛，即 记录稳态控制输入u (Λ0)以及初始控制能量步骤6.2：执行坐标下降法(29)，令j→j+1；

步骤6.3：令跟踪时间点分布Λ＝Λj时，执行范数优化迭代学习控制律(22)直到系统收*敛，即 记录稳态控制输入u (Λj)以及相应的控制能量步骤6.4：重复执行步骤6.2和步骤6.3，直到|h(Λj)‑h(Λj‑1)|<δ|h(Λj‑1)|；

*

步骤6.5：记录最优跟踪时间点分布Λ以及相应的最小能量第七步、分析所述点对点迭代学习最小能量控制算法的鲁棒性：考虑乘性不确定性对系统的影响，输入输出传递矩阵的实际模型如下：其中，未知矩阵Δ表示模型不确定性，并且满足条件：则由范数优化迭代学习控制律(22)生成的误差序列 单调收敛到零，即：其中，η<1表示 的谱半径；

当误差收敛到零时，跟踪设计目标写成：其中， 表示控制律作用于实际模型生成的稳态控制输入，通过测量获得，实际模型对应的点对点参考轨迹 也是基于测量数据生成的：如果G(I+Δ)仍然是满秩，并且 的下界σ非零，则将式(35)写成：有上界 则将式(36)写成：

结合式(37)和式(38)：

代价函数h(Λ)有上界η，则：第八步、设计输入输出约束下的点对点迭代学习最小能量控制算法：以输入输出幅值作为约束条件，形式如下：其中，t∈[0,N]， 分别表示第i个输入的幅值最小值和幅值最大值，分别表示第i个输出的幅值最小值和幅值最大值；

当考虑系统约束时，优化问题(16)改写为：将优化问题(43)分为两个优化问题分别进行求解，与式(17)和式(18)有同样表达式：其中 是优化问题(44)的解析解；

由于优化问题(44)没有直接的解析解，采用具有连续投影的范数优化迭代学习控制律来解决这个问题；则控制律(22)被替换为：p

为了防止约束条件下输出轨迹跟踪不上点对点的参考轨迹r ，将优化问题(45)中的代价函数改写为：其中ρ≥0；结合式(45)和式(47)：当满足跟踪要求 则有：

将式(49)代入式(48)，显然 并且(1‑ρ)非负，则有：*

代价函数h(Λ)有上下界：

优化问题(45)同样通过坐标下降法解决：其中 表示坐标下降的次数；每个跟踪时间点经过函数 更新：

其中 是如下优化问题的解：

p

给定线性离散时不变系统，初始跟踪时间点分布Λ0以及集合Θ，点对点的参考轨迹r ，选定权矩阵Q和R，输入输出约束的集合Φ和Ξ，趋近于零的常数ε>0和δ>0，则输入输出约束的点对点迭代学习最小能量控制算法设计如下：步骤8.1：初始跟踪时间点分布为Λ0时，执行具有连续投影的范数优化迭代学习控制律*(46)直到系统收敛，即 通过式(23)计算并记录理论最优的控制输入u (Λ0)以及相应的初始控制能量 实际的稳态控制输入 以及相应的初始控制能量步骤8.2：执行坐标下降法(52)，令j→j+1；

步骤8.3：令跟踪时间点分布Λ＝Λj时，执行具有连续投影的范数优化迭代学习控制律*(46)直到系统收敛，即 通过式(23)计算并记录理论最优的控制输入u(Λj)以及相应的控制能量 实际的稳态控制输入 以及相应的控制能量* * *

步骤8.4：重复执行步骤8.2和步骤8.3，直到|h(Λj)‑h(Λj‑1)|<δ|h(Λj‑1)|；

步骤8.5：记录最优跟踪时间点分布 以及相应的最小能量